Section05_差分方程

引入

• 差分方程是微分方程的一种延展形式，是自变量离散化后的结果 $$\frac{dy}{dx} \longrightarrow \frac{y_{x+1} - y_{x}}{(x+1)-x} = y_{x+1} - y_{x}$$
• 差分定义 $\Delta y_{x} = y_{x+1} - y_{x}$
• 二阶差分 $\Delta(\Delta y_{x}) = \Delta^{2} y_{x} = (y_{x+2}-y_{x+1}) - (y_{x+1} - y_{x}) = y_{x+2} - 2y_{x+1} + y_{x}$

差分方程

$n$ 阶差分方程

$$F(x,y_{x},y_{x+1},\cdots,y_{x+n}) = 0$$

一阶差分方程

齐次 $y_{x+1}+ay_{x} = 0$

• 解法 递推法 $$\begin{split} & y_{x+1} = (-a)y_{x} = (-a)^{2}y_{x-1} =\cdots = (-a)^{x+1}y_{0} \\ & y_{0} = f(0) \\\\ & \color{#D0104C}y_{x} = (-a)^{x}y_{0}k = C(-a)^{x} \end{split}$$

  非齐次 $y_{x+1}+ay_{x} = f(x)$

• $f(x) = b$ 递推法 $$\begin{split} & y_{1} = -ay_{0} + b \\ & y_{2} = -ay_{1} + b = (-a)^{2}y_{0} -ab + b \\ & y_{3} = -ay_{2} + b = (-a)^{3}y_{0} + a^{2}b -ab + b \\ &\vdots \\ &y_{x} = (-a)^{x}y_{0} + b \sum_{i=0}^{x-1}(-a)^{i} \end{split}$$
  1. $a = -1$
     1. 特解 $y_{x} = y_{0} + bx$
     2. 通解 $y_{x} = C+y_{0} +bx = C + bx$
  2. $a\ne -1$
     1. 特解 $y_{x} = (-a)^{x} y_{0} + b \frac{1-(-a)^{x}}{1-(-a)} = (-a)^{x} y_{0}-\frac{b}{1+a}(-a)^{x} +\frac{b}{1+a}$
     2. 通解 $y_{x} = C(-a)^{x} + (-a)^{x} y_{0}-\frac{b}{1+a}(-a)^{x} +\frac{b}{1+a} = C(-a)^{x} + \frac{b}{1+a}$
• $f(x) = (a_{0} + a_{1}x + \cdots +a_{n}x^{n})\mu^{x}$ $$\begin{split} & Y^*_{x} = x^{k}(A_{0} + A_{1}x+\cdots + A_{n}x^{n})\mu^{x} \end{split}$$
  • $k = \begin{cases}0 & -a\ne \mu \\ 1 & -a=\mu\end{cases}$
  • 将 $Y_{x}^{*}$ 带入 $y_{x+1} + y_{x} = f(x)$ 求出