Section04_连续与间断

1. 连续
   1. $f(x)$在$x=a$处连续：若$\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\Leftrightarrow f(a-0)=f(a+0)=f(a)}$，则称$f(x)$在$x=a$处连续
   2. $f(x)$在$[a,b]$上连续：若$\displaystyle{\begin{cases}f(x)\text{在}(a,b)\text{内处处连续}\\f(a)=f(a+0),\ f(b)=f(b-0)\end{cases}}$，则称$f(x)$在$[a,b]$上连续，记为$f(x)\in \text{C}[a,b]$
2. 间断：若$\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)\neq f(a)}$，称$x=a$为$f(x)$的间断点
   1. 第一类间断点 $\exists\ f(a-0),f(a+0)$
      1. $f(a-0)=f(a+0)\neq f(a)$，则$a$为可去间断点
      2. $f(a-0)\neq f(a+0)$，则$a$为跳跃间断点
   2. 第二类间断点 $f(a-0),f(a+0)$二者中至少一个不存在 （$\pm\infty$ 也为不存在）

型四：间断点及其分类

• 例1 $\displaystyle{f(x)=\frac{\ln\vert x\vert}{x^{2}-1}e^{\frac{1}{x-2}}}$ 的间断点及其类型

  • 解 $$\begin{split} & x=-1,0,1,2\text{为间断点}\\ & \lim_{x\to -1}f(x) = \lim_{x\to -1}\frac{e^{\frac{1}{x-2}}}{( x-1 )}\frac{\ln (-x)}{(x+1)} \\ = & -\frac{e^{-\frac{1}{3}}}{2}\lim_{x\to -1}\frac{\ln (-x)}{(x+1)} \\ = & -\frac{e^{-\frac{1}{3}}}{2}\lim_{x\to -1}\frac{\ln [1-(x+1)]}{(x+1)} \\ = & \frac{e^{\frac{1}{3}}}{2}\ \\ & \Rightarrow\ x=-1\text{为可去间断点} \\\\ & \lim_{x\to 1}f(x) = \lim_{x\to 1}\frac{e^{\frac{1}{x-2}}}{( x+1 )}\frac{\ln (x)}{(x-1)} \\ = & \frac{e^{-1}}{2}\lim_{x\to 1}\frac{\ln [1+(x-1)]}{(x-1)} \\ = & \frac{1}{2e} \\ & \Rightarrow x=1 \text{为可去间断点} \\\\ & \lim_{x\to 0}f(x) = \lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x^{2}-1}\ln(x) = +\infty \\ & \Rightarrow x=2\text{为第二类间断点} \\\\ & \lim_{x\to 2^{-}}f(x) = 0 \text{ and } \lim_{x\to 2^{+}} = +\infty \\ & \Rightarrow x=2\text{为第二类间断点} \end{split}$$

• 例2 $\displaystyle{f(x)=\frac{1-e^{\frac{1}{x-1}}}{1+e^{\frac{1}{x-1}}}}$

  • 解 $$\begin{split} & x=1\text{为间断点}\\ & \lim_{x\to 1^{+}}f(x) = \lim_{x\to 1^{+}}\frac{\frac{1}{e^{1/(x-1)}}-1}{\frac{1}{e^{1/(x-1)}}+1} = -1 \\ & \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{1-0}{1+0}=1\\ &\Rightarrow\ x=1\text{为跳跃间断点} \end{split}$$

闭区间上连续函数$(f(x)\in C[a,b])$的性质

1. 最值：设$f(x)\in C[a,b]\Rightarrow \exists\ m,M;f(x)\in [m,M]$
2. 有界：设$f(x)\in C[a,b]\Rightarrow \exists\ k>0, \vert f(x)\vert < k$
3. 零点定理：设$f(x)\in C[a,b], f(a)f(b)<0\Rightarrow\exists\ c\in[a,b],f(c)=0$
4. 介值定理：$\forall\ n\in[m,M],\exists\ \zeta\in[a,b],f(\zeta)=n$

相关题型

• 出题特点
  • 纯函数值之和
  • $\exists\ \zeta\in[a,b]$
• 例1 $f(x)\in C[0,2], f(0)+2f(1)+3f(2)=12$，证明：$\exists\ c\in[0,2]$ 使得 $f(c) = 2$
  • 解 $$\begin{array}{ll} \because & f(x)\in C[0,2] \text{ and } 6m\le f(0)+2f(1)+3f(2)\le 6M \\ \therefore & m\le 2 \le M \\ \therefore & \exists\ c\in[0,2], f(c)=2 \\ \end{array}$$
• 例2 $f(x)\in C[a,b],p>0,q>0$，证明：$\exists\ \zeta\in[a,b]$使得$pf(a)+qf(b)=(p+q)f(\zeta)$
  • 解 $$\begin{array}{ll} \because & f(x) \in C[a,b] \text{ and } (p+q)m\le pf(a)+qf(b)\le (p+q)M \\ \therefore & m\le \frac{pf(a)+qf(b)}{p+q}\le M \\ \therefore & \exists\ \zeta\in[a,b], f(\zeta) = \frac{pf(a)+qf(b)}{p+q} \\ \therefore & \exists\ \zeta, (p+q)f(\zeta) = f(a)+qf(b) \\ \end{array}$$