Section01_极限的定义

极限

• 定义一 数列极限的定义($\epsilon -N$)： $\forall\ \epsilon>0, \exists\ N>0,$ When $n>N, \vert a_{N}-A\vert <\epsilon$ 称为$\lim_{n\to \infty} a_{n} = A$ 或 $a_{n}\to A(n\to \infty)$
  • 例 $\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}$，但$\frac{n}{2n+1}\neq\frac{1}{2}$

    1. $x\to a$ 意为 $\begin{cases} x \ne a \\ x\to a^{-}, x\to a^{+} \end{cases}$
       • 如 $\lim_{x\to 0}\frac{0}{x^{2}}=0$
    2. $\lim_{x\to a}f(x)$与$f(a)$无关
       • 如$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}$：$\lim_{x\to 2}f(x) = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$与$f(2)$无关
    3. $0<\vert x-a \vert<\delta$ 称为去心邻域

• 定义二 $(\epsilon-\delta)$：$f(x)$ 在 $x=a$ 去心邻域内有定义。若 $\forall\ \epsilon>0, \exists\ \delta >0$, 当$0<\vert x-a\vert <\delta$ 时，有 $\vert f(x) -A\vert <\epsilon$. 则 $\lim_{x\to a}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to a)$

  1. 1. 若 $\forall\ \epsilon>0, \exists\ \delta>0,$ 当 $x\in (a-\delta, a)$ 时，$\vert f(x)-A\vert <\epsilon.$ 则写作 $\displaystyle{\lim_{x\to a^{-}}=A \text{ or } f(a-0)=A;}$
     2. 若 $\forall\ \epsilon>0, \exists\ \delta>0,$ 当 $x\in (a, a+\delta)$ 时，$\vert f(x)-B\vert <\epsilon.$ 则写作 $\displaystyle{\lim_{x\to a^{+}}=B \text{ or } f(a+0)=B;}$
     3. $\color{#D0104C}{\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)\ \exists \Leftrightarrow} \exists f(a-0),f(a+0) \text{ and } f(a+0) = f(a-0)}$
  2. $f(x)$ 含 $a^{\frac{?}{x-b}}$ 或 $a^{\frac{?}{b-x}}$，当 $x\to b$ 时，分左右
     • 如 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{1+e^{\frac{1}{x-1}}}$，研究 $\displaystyle{\lim_{x\to 1}f(x)}$

• 定义三 $(\epsilon-x)$： 若 $\forall \epsilon>0, \exists X>0$，当 $x>X$ 时，$\vert f(x) -A\vert <\epsilon$ 则 $\lim_{x\to +\infty}f(x)=A$

性质

1. 极限的一般性质
   1. 唯一性 若极限存在，则极限一定是唯一的
   2. 保号性 设$\lim_{x\to a}f(x)=A>0$ （或 $A<0$），则存在 $\delta>0$，当 $0<\vert x-a \vert<\delta$ 时，有 $f(x)>0$（或 $f(x)<0$）
2. 极限存在准则
   1. 夹逼定理
      1. 数列型 设 $\begin{cases}a_{n}\le b_{n}\le c_{n},\\\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=A\end{cases}$，则 $\lim_{n\to\infty}b_{n}=A$
      2. 函数型 设 $\begin{cases}f(x)\le g(x)\le h(x),\\\lim f(x) = \lim h(x)=A,\end{cases}$ 则 $\lim g(x)=A$