Section01_定义

导数定义

• $\begin{cases}y=f(x)(x\in \mathbb{D}),\\ x_{0}\in \mathbb{D}, x_{0}+\Delta x\in \mathbb{D},\\\Delta y = f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=f(x)-f(x_{0})\end{cases}$若 $\displaystyle{\exists\ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}}$，称$f(x)$在$x=x_{0}$处可导，该极限称为$f(x)$在$x=x_{0}$处的导数，记为$f'(x_{0})$或$\left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=x_{0}}$

Note

1. $\displaystyle{f'(x_{0})=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$
2. 导数存在与左导数，右导数
   1. 左导数 $\displaystyle{f'_{-}(x_{0})=\lim_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\to x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$
   2. 右导数 $\displaystyle{f'_{+}(x_{0})=\lim_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\to x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$
   3. $f'(a)\ \exists \Leftrightarrow \exists f'_{-}(a),f'_{+}(a) \text{ and } f'_{-}(a)=f'_{+}(a)$
3. $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导 $\nLeftarrow\Rightarrow$ $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续

   Proof

   • $\Rightarrow$ : $$\begin{split}&\exists\ f'(a)\Rightarrow \exists\ \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\Rightarrow\lim_{x\to a}f(x)-f(a)=0\\ &\Rightarrow\lim_{x\to a}f(x) = f(x)\end{split}$$
   • $\nLeftarrow$ (Example) $f(x) = 2x+\vert x\vert$ $$\lim_{x\to 0}f(x) =f(0)\text{ but } f'_{-}(0)\neq f'_{+}(0)$$

4. $f(x)$连续，若$\displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{f(x)-b}{x-a}}=A \ \Rightarrow f(a)=b, f'(a)=A$

相关题目

• 例1 $\displaystyle{f(x)=\vert \ln x\vert}$ 求 $f'(1)$
• 解 $$\begin{split} & f'_{-}(1) = \lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x\to 1^{-}}\frac{- \ln x}{x-1} = \lim_{x\to 1^{-}} -\frac{\ln[1+(x-1)]}{x-1} = -1 \\ & f'_{+}(1) = \lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x\to 1^{+}}\frac{\ln x}{x-1} = \lim_{x\to 1^{+}} \frac{\ln[1+(x-1)]}{x-1} = 1\neq f'_{-}(1) \\ & \Rightarrow \nexists f'(1) \end{split}$$
• 例2 $\displaystyle{f(x)=\begin{cases}\frac{x\cdot 2^{\frac{1}{x}}}{1+2^{\frac{1}{x}}},& x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}$ 求 $f'(0)$
• 解 $$\begin{split} & f'_{-}(0) = \lim_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^{-}}\frac{2^{\frac{1}{x}}}{1+2^{\frac{1}{x}}} = 0 \\ & f'_{+}(0) = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{2^{\frac{1}{x}}}{1+2^{\frac{1}{x}}} = 1 \\ & \Rightarrow\ \nexists\ f'(0) \end{split}$$

可微

定义

• $\displaystyle{\begin{cases}y=f(x)&x\in \mathbb{D} \\\Delta y = f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})&x_{0}\in \mathbb{D}\end{cases}}$ 若 $\Delta y=A\Delta x + o(\Delta x)$ 称 $f(x)$ 在 $x=0$处可微，$A\Delta x$ 称为 $f(x)$ 在$x=x_{0}$处的微分，记为 $d_{y}|_{x=x_{0}} = A\Delta x=Adx$

Note

1. $f(x)\text{在}x=x_{0}\text{可导}\Leftrightarrow \text{其在}x=x_{0}\text{处可微}$

   Proof $\Rightarrow$ $$\begin{split}&\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_{0})\\\Rightarrow &\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_{0})+\alpha\ (\lim_{\Delta x\to 0}\alpha=0)\\\Rightarrow& \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_{0})+\alpha\\\Rightarrow&\Delta y=f'(x_0) +\alpha\Delta x = f'(x_{0})+o(\Delta x)\end{split}$$ $\Leftarrow$ $$\begin{split}&\Delta y=A\Delta x + o(\Delta x)\\\Rightarrow & \frac{\Delta y}{\Delta x} = A +\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\\\Rightarrow &\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = A\end{split}$$

2. 若$\Delta y= A\Delta x+o(\Delta x)\Rightarrow A=f'(x_{0})$
3. $y=f(x)$ 处处可导：$dy=df(x)=f'(x)\cdot dx$，如 $d(x^{3})=3x^{2}\cdot dx$