Section00_预备知识

1. 极值点 $y=f(x)\ (x\in \mathbb{D}),\ x_{0}\in \mathbb{D}$
   1. 若 $\exists\ \delta>0$，当 $0<\vert x-x_{0}\vert <\delta$ 时，$f(x)<f(x_{0})$：$x_{0}$为极大值点，其对应的函数值$f(x_{0})$为极大值
   2. 若 $\exists\ \delta>0$，当 $0<\vert x-x_{0}\vert <\delta$ 时，$f(x)>f(x_{0})$：$x_{0}$为极小值点，其对应的函数值$f(x_{0})$为极小值
2. $f'(x) = \begin{cases}>0 \\<0 \\ =0\\\nexists\end{cases}$
   1. $f'(a)>0$：$\displaystyle{f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0\Rightarrow \exists \delta>0,\ \text{When } 0<\vert x-a\vert<\delta,\ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0}$ $\Rightarrow \displaystyle{\begin{cases}f(x) >f(a) , & x\in(a,a+\delta)\\ f(x) <f(a), & x\in(a-\delta,a) \end{cases}}$
   2. $f'(a)<0$：$\displaystyle{f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0\Rightarrow \exists \delta<0,\ \text{When } 0<\vert x-a\vert<\delta,\ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0}$ $\Rightarrow \displaystyle{\begin{cases}f(x) <f(a) , & x\in(a,a+\delta)\\ f(x) >f(a), & x\in(a-\delta,a) \end{cases}}$

结论

1. $f(x)$ 在 $x=a$ 处取极值 $\nLeftarrow\Rightarrow\displaystyle{\begin{cases}f'(a)=0\\\nexists\ f'(a)\end{cases}}$
2. $f(x)$ 可导且在 $x=a$ 处取得极值 $\nLeftarrow\Rightarrow f'(a)=0$

3. $f_{+}(a)>0 \Rightarrow \text{右大}$ 即 $\exists\ x_{1}>a,\ f(x_{1})>f(a)$

   $f'_{+}(a)<0 \Rightarrow \text{右小}$ 即 $\exists\ x_{1}>a,\ f(x_{1})>f(a)$