Section02_依概率收敛

定义

设 $Y_{1},Y_{2},\cdots, Y_{n},\cdots$ $Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}, \dots$ 为一随机变量序列， $a$ $a$ 为常数，若 $\forall \epsilon > 0, \lim\limits_{x\to \infty}\mathbb{P}\{\vert Y_{n} -a \vert \le \epsilon\} = 1$ $\forall ϵ > 0, x \to \infty lim P {∣ Y_{n} - a ∣ \leq ϵ} = 1$ 或 $\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{P}\{\vert Y_{n} - a \vert \ge \epsilon \} = 0$ $n \to \infty lim P {∣ Y_{n} - a ∣ \geq ϵ} = 0$ 则称 $Y_{n}$ $Y_{n}$ 依概率收敛到 $a$ $a$ ，记为 $Y_{n}\xrightarrow{P}a\ (n\to \infty)$ $Y_{n} P a (n \to \infty)$
- 注 $Y_{n}\xrightarrow{P}a$ 表明 $\mathbb{P}\{Y_{n}\in (a-\epsilon,a+\epsilon)\}$ 很大
- 频率依概率收敛于概率

若 $X_{n}\xrightarrow{P}a, Y_{n}\xrightarrow{P}b$ $X_{n} P a, Y_{n} P b$ ， $g(x,y)$ $g (x, y)$ 在 $(a,b)$ $(a, b)$ 连续，则 $g(X,Y)\xrightarrow{P}g(a,b)$ $g (X, Y) P g (a, b)$
- 如 $X_{n}\xrightarrow{P}a\Rightarrow X^{2}_{n}\xrightarrow{P}a^{2}$