Section03_事件的独立性和贝努利概型

独立性

1. 定义 事件 $A, B$ 独立 $\Leftrightarrow$ $\mathbb{P}(AB) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$
   • 注 直观上指$A$的发生对$B$无影响
2. 结论
   1. 下列4对事件：$\begin{cases} A \text{ and } B \\ A \text{ and } \bar{B} \\ \bar{A} \text{ and } B \\ \bar{A} \text{ and } \bar{B} \\ \end{cases}$ 中，一对独立，则另外三对独立
   2. 概率为 $0$ 和概率为 $1$ 的事件同任意事件独立
   3. 独立与互斥 互斥 $\nRightarrow$ 独立
      • 互斥 $AB = \emptyset\ \substack{\displaystyle \rightarrow\\\nleftarrow}\ \mathbb{P}(AB) = 0$
      • 独立 $\mathbb{P}(AB) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$
   4. $A,B,C$ 两两独立 $\Leftrightarrow \begin{cases} \mathbb{P}(AB) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \\ \mathbb{P}(AC) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(C) \\ \mathbb{P}(BC) = \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(C) \\ \end{cases}$
   5. $A,B,C$ 相互独立 $\Leftrightarrow \begin{cases} A,B,C\text{两两独立} \\ \mathbb{P}(ABC) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C) \end{cases}$

例题

1. 盒子中有编号为 $1,2,3,4$ 的四张卡片，现从中任取一张，设事件 $A$ 为取到 $1$ 或 $2$ 号卡片，事件 $B$ 表示取到 $1$ 或 $3$ 号卡片，事件 $C$ 表示取到 $1$ 或 $4号$卡片，试讨论事件 $A, B ,C$ 的两两独立和相互独立性 $$\begin{array}{ll} & \mathbb{P} (A) = \frac{1}{2} = \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(C) \\ & \mathbb{P}(AB) = \frac{1}{4} = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) \\ & \mathbb{P}(AC) = \frac{1}{4} = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(C) \\ & \mathbb{P}(BC) = \frac{1}{4} = \mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C) \\ & \mathbb{P}(ABC) = \frac{1}{4} \ne \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C) \\ \therefore & A,B,C \text{两两独立而不相互独立} \\ \end{array}$$

2. 设 $A,B,C$ 是三个相互独立事件，且$\mathbb{P}(A), \mathbb{P}(B), \mathbb{P}(C) \in (0,1)$，则在下列给定的四类事件中，不相互独立的是(B) a. $\overline{A\cup B}$ 和 $C$ b. $\overline{AC}$ 和 $\bar{C}$ a. $\overline{A-B}$ 和 $\bar{C}$ a. $\overline{AB}$ 和 $\bar{C}$

3. 注 若$A,B,C$ 相互独立 $\Rightarrow \begin{cases} AB \text{和} C \text{独立} \\ A\cup B \text{和} C \text{独立} \\ A-B \text{和} C \text{独立} \\ \end{cases}$ (无重叠量)

贝努利概型

1. 贝努利试验 只有 $2$ 个结果：$A$ 和 $\bar{A}$ 的试验
2. 独立重复实验 各次试验的结果独立
3. $n$ 重贝努利试验 将一贝努利试验独立重复进行 $n$ 次，每次 $\mathbb{P}(A) = p$，则 $A$ 可能发生 $0,1,2,\cdots,n$ 次，$A$ 恰好发生 $k$ 次的概率为 $$\mathbb{P}(A_{k}) = C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k} \quad k = 0,1,2,\cdots, n$$
4. 有截止的贝努利试验 一贝努利试验独立重复 $n$ 次恰好是 $A$ 第 $k$ 次发生的概率 $$P(A_{k}) = C_{n-1}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k} p = C_{n-1}^{k-1}p^{k}(1-p)^{n-k}$$

例题

1. 设甲乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制，各局比赛相互独立，每局比赛中甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$，求甲最终获胜的概率 $$\begin{array}{ll} & \text{设}A_{3},A_{4},A_{5} \text{分别为甲在第}3,4,5 \text{局获胜} \\ & \mathbb{P}(A_{3}) = \frac{2}{3}\times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27} \\ & \mathbb{P}(A_{4}) = C_{3}^{2}(\frac{2}{3})^{3} \times\frac{1}{3} = \frac{8}{27} \\ & \mathbb{P}(A_{5}) = C_{4}^{2}(\frac{2}{3})^{3}\times (\frac{1}{3})^{2} = \frac{16}{81} \\ \therefore & \mathbb{P}(\text{甲获胜}) = \mathbb{P}(A_{3}) + \mathbb{P}(A_{4}) + \mathbb{P}(A_{5}) = \frac{64}{81} \\ \end{array}$$