Section02_方差

基本概念

定义

• $DX$ 或 $D(X) = E(X-EX)^{2}\ge 0$ 称 $DX$ 为随机变量 $X$ 的方差，$\sqrt{DX}$ 为 $X$ 的标准差或均方差

计算

• $DX = EX^{2} - [EX]^{2}$
  • 注 $EX^{2}\le [EX]^{2}$
• 变形 $EX^{2} = [EX]^{2} + DX$
  • 如 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^{2}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}\cdot dx \xlongequal{X\sim \mathcal{N}(0,1)} EX^{2} = DX + [EX]^{2} = 1$

性质

1. $D(c) = 0,\quad c \text{为常数}$
2. $D(aX) = a^{2}DX;\ D(-X) = DX;\ D(aX+b) = a^{2}DX$
3. 若 $X,Y$ 相独立，则 $D(X\pm Y) = DX + DY$
4. $E(X-EX)^{2} =DX\le E(X-t)^{2}$