Section02_概率

概率的定义与性质

1. 统计定义 $$\mathbb{P}(A) \triangleq \lim_{n\to \infty}\frac{f_{n}(A)}{n}$$
2. 公理化定义 存在一种映射关系 $P: \begin{array}{ll} \Omega \rightarrow [0,1]\\ A\rightarrow P(A)\\ \end{array}$ 满足以下三个条件，则称 $\mathbb{P}(A)$ 为 $A$ 发生的概率
   1. 非负性 $\mathbb{P}(A)\ge 0$
   2. 规范性 $\mathbb{P}(\Omega) = 1$
   3. 可列可加性 设 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 两两互不相容，则 $\displaystyle \mathbb{P}\bigg(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\bigg) = \sum_{n=1}^{n}\mathbb{P}(A_{i})$
3. 性质
   1. $0\le \mathbb{P}(A)\le 1, \mathbb{P}(\emptyset) = 0, \mathbb{P}(\Omega)= 1$
   2. $A,B$ 互斥 $\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$
   3. $\mathbb{P}(\bar{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)$ 常用于设计"至少"或"最多"的问题
   4. 减法公式 $\mathbb{P}(A-B) = \mathbb{P}(A \bar{B}) = \mathbb{P}(A-AB) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(AB)$
      • 注 若 $B\subset A$，则 $\mathbb{P}(A-B) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B)$，由此可得若 $B\subset A$，则 $\mathbb{P}(B)\le \mathbb{P}(A)$ $$0 \le \mathbb{P}(AB) \le \mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(A\cup B) \le 1$$
   5. 加法公式
      • $\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(AB)$
      • $\mathbb{P}(A\cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(AB) - \mathbb{P}(BC) - \mathbb{P}(AC) + \mathbb{P}(ABC)$

例题

1. 设 $\mathbb{P}(A) =\mathbb{P}(B) =\mathbb{P}(C) = \frac{1}{4}, \mathbb{P}(AB) = 0, \mathbb{P}(AC) = \mathbb{P}(BC) = \frac{1}{8}$，则事件 $ABC$ 全不发生的概率为 $$\begin{array}{ll} \mathbb{P}(\bar{A}\bar{B}\bar{C}) = 1 - \mathbb{P}(A\cup B\cup C) = 1 -(\frac{3}{4} - \frac{2}{8}) = \frac{1}{2} \end{array}$$
   • 注 $ABC\subset AB, \mathbb{P}(AB) = 0 \Rightarrow \mathbb{P}(ABC) = 0$
   • 求 $\mathbb{P}(A \bar{B} \bar{C})$ $$\begin{array}{ll} &\mathbb{P}(A\bar{B} \bar{C})= \mathbb{P}(A \overline{B\cup C}) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(AB\cup AC) \\ &= \mathbb{P}(A) - [\mathbb{P}(AB) +\mathbb{P}(AC) - \mathbb{P}(ABC)] \end{array}$$

古典概型与几何概型

预备知识

1. 加法原理 分类
2. 乘法原理 分步
   • 例1 将 $3$ 个球随机放入 $4$ 个盒子，共 $4\times4\times4$ 种放法
   • 例2 将 $3$ 个球随机放入 $3$ 个盒子，每个盒子 $1$ 个球，共 $3\times 2\times 1= 3!$ 种放法
3. 排列 从 $n$ 种不同元素中，任取 $m$ 个元素（每次取 $1$ 个，共取 $m$ 次），排成一列
   • 有放回 共 $n^{m}$ 种取法
   • 无放回 共 $\displaystyle n\times (n-1)\times\cdots\times(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$ 种取法
4. 组合 从 $n$ 种不同元素中，任取 $m$ 个元素，不考虑顺序，共 $\displaystyle \frac{n!}{(n-m)!m!} = C^{m}_{n} = {n \choose m}$

古典概型

1. 特征 有限等可能
2. 计算 $$\mathbb{P}(A) = \frac{A\text{中样本点个数}}{\Omega \text{中样本点个数}}$$

例题

1. $10$ 个产品中有 $4$ 个次品，从中任取 $3$ 个，求至少有 $1$ 个次品的概率 $$\begin{array}{ll} \mathbb{P} = 1- \frac{6}{10}\times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{5}{6} \end{array}$$

几何概型

1. 特征 无限等可能
2. 计算 $$\mathbb{P}(A) = \frac{A \text{的几何测度}}{\Omega \text{的几何测度}}$$
3. 例 向 $[0,1]$ 内随机投 $1$ 点
   • 该点恰好落在 $x = \frac{1}{2}$ 的概率 $\frac{0}{1} = 0\quad$ $\color{#D0104C}{\mathbb{P}(A) = 0 \nRightarrow A \text{为不可能事件}}$
   • 该点恰好落在 $x (0,1)$ 的概率 $\frac{1}{1} = 1\quad$ $\color{#D0104C}{\mathbb{P}(A) = 1 \nRightarrow A \text{为必然事件}}$

例题

1. 在区间 $(0,1)$ 中随机取两个数，求两数之和大于 $1$，且两数之积小于 $\frac{1}{2}$ 的概率 $$\begin{array}{ll} & \Omega = \{(x,y)\vert 0<x<1, 0<y<1\} \\ & A = \{(x,y)\vert x+y > 1, xy < \frac{1}{2}\} \\ \therefore &\displaystyle \mathbb{P}(A) = \frac{\text{蓝色部分面积}}{1} = \frac{1}{2} - \int_{\frac{1}{2}}^{1} (1- \frac{1}{2x}) \cdot dx = \frac{1}{2} - (x-\frac{1}{2}\ln x) \vert ^{1}_{\frac{1}{2}} \\ & \displaystyle = \frac{1}{2}\ln 2 \end{array}$$

条件概率与乘法公式

条件概率

1. 定义 事件 $A$ 发生的条件下，$B$ 发生的概率，称为条件概率，记为 $\mathbb{P}(B\vert A)$，当 $\mathbb{P}(A)>0$ 时，$\mathbb{P}(B\vert A) = \frac{\mathbb{P}(AB)}{\mathbb{P}(A)}$
   • 注1 $\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B\vert \Omega) = \frac{\mathbb{P}(B\Omega)}{\mathbb{P}(\Omega)}$，故 $\mathbb{P}(B\vert A)$ 可以理解为将样本空间缩小为 $A$ 时，$B$ 发生的概率
   • 注2
     • $\mathbb{P}(AB)$ $A,B$ 同时发生的概率
     • $\mathbb{P}(B\vert A)$ $A$ 发生的条件下，$B$ 发生的概率
2. 计算 $$P(B\vert A) = \begin{cases} \frac{\mathbb{P}(AB)}{\mathbb{P}(A)}\\ \text{缩小样本空间为}A \end{cases}$$
3. 性质
   1. $0 \le \mathbb{P}(B\vert A)\le 1, \mathbb{P}(\emptyset\vert A) = 0, \mathbb{P}(\Omega\vert A) =1, \mathbb{P}(A\vert A) = 1$
   2. $\mathbb{P}(\bar{B}\vert A) = 1-\mathbb{P}(B\vert A)$
   3. $\mathbb{P}(B_{1}\cup B_{2} \vert A) = \mathbb{P}(B_{1}\vert A) + \mathbb{P}(B_{2}\vert A) - \mathbb{P}(B_{1}B_{2}\vert A)$
   4. $\mathbb{P}(B_{1}-B_{2}\vert A) = \mathbb{P}(B_{1}\bar{B_{2}}\vert A) = \mathbb{P}(B_{1}\vert A) - \mathbb{P}(B_{1}B_{2}\vert A)$

例题

1. 设袋中有 $10$ 只球，其中 $6$ 只红球和 $4$ 只白球，现从中不放回地任意取两只球，求一只第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率 $$\begin{array}{ll} & \text{Method1 公式法} \\ & \mathbb{P}(A_{2}\vert \bar{A_{1}}) = \frac{\mathbb{P}(A_{2}\bar{A_{1}})}{\bar{A_{1}}} = \frac{\frac{6}{10}\frac{4}{9}}{\frac{6}{10}} = \frac{4}{9} \\ & \text{Method2 缩小样本空间} \\ & \mathbb{P}(A_{2}\vert \bar{A_{1}}) = \frac{4}{10-1} = \frac{4}{9} \end{array}$$

乘法公式（链式结构）

1. $\mathbb{P}(AB) = \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(A\vert B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B\vert A)$

   graph LR; id3["B
   P(B)"]; id4["A
   P(A|B)"]; id3 --> id4 id1["A
   P(A)"]; id2["B
   P(B|A)"]; id1 --> id2

2. $\mathbb{P}(ABC) = \mathbb{P}(AB)\mathbb{P}(C\vert AB) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B\vert A) \mathbb{P}(C\vert AB)$

   graph LR; id1["A
   P(A)"]; id2["B
   P(B|A)"]; id3["C
   P(C|AB)"]; id1 --> id2 --> id3

全概率公式与贝叶斯公式

1. 完备事件组 设 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 两两互斥，且 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} = \Omega$ 则称 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 为 $\Omega$ 的完备事件组
   • 注 $\bar{A}$ 和 $A$ 为一个完备事件组
2. 全概率公式 $\displaystyle \mathbb{P}(B) = \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(BA_{i}) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_{i})\mathbb{P}(B\vert A_{i})$ $$\begin{split} &\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B\Omega) = \mathbb{P}\bigg(B \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\bigg) \\ = & \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(BA_{i}) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_{i})\mathbb{P}(B\vert A_{i}) \end{split}$$
   • 注 对应情况如下图
     graph LR; id1[start]; id2.1[A1]; id2.2[A2]; id2.3[...]; id2.4[An]; id3[B]; id1 --"P(A1)"--> id2.1 --"P(B|A1)"--> id3 id1 --"P(A2)"--> id2.2 --"P(B|A2)"--> id3 id1 --> id2.3 --> id3 id1 --"P(An)"--> id2.4 --"P(B|An)"--> id3
3. 贝叶斯公式 $$\mathbb{P}(A_{i}\vert B) = \frac{\mathbb{P}(A_{i}B)}{\mathbb{P}(B)}$$

例题

1. 设袋中有 $50$ 只乒乓球，其中 $20$ 只黄球，$30$ 只白球，现从中以此不放回地任取两只，则第二次取得黄球的概率为 $$\begin{array}{ll} & \text{设}A_{i} \text{为第} i \text{取得黄球} \\ & \mathbb{P}(A_{2}) = \mathbb{P}(A_{1}A_{2}) + \mathbb{P}(\bar{A_{1}}A_{2}) \\ & = \frac{30}{50}\times \frac{20}{49} + \frac{20}{50}\times \frac{19}{49} \\ & = \frac{2}{5} \end{array}$$
   graph LR; id1[start]; id2.1[白球]; id2.2[黄球]; id3[黄球]; id1 --> id2.1 -->id3 id1 --> id2.2 -->id3
2. 某单项选择题有四个答案可供选择，已知 $60\%$ 的考生对相关知识完全掌握，可选择出正确答案，$20 \%$ 考生对相关知识部分掌握，可剔除两个不正确答案，然后随机选择一个答案，$20 \%$ 考生对相关知识完全不掌握，他们从中任选一个答案，现任选一个考生，求
   1. 答对答案的概率
   2. 若已知该考生选对答案，则其完全掌握相关概念的概率 $$\begin{array}{ll} & \text{设}A_{1},A_{2},A_{3} \text{分别为抽到的学生为完全掌握，部分掌握，和完全不掌握, }B \text{为该学生答对} \\ & \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A_{1}B) + \mathbb{P}(A_{2}B) + \mathbb{P}(A_{3}B) \\ & = 0.6 \times 1 + 0.2 \times 0.5 + 0.2 \times 0.25 = 0.75 \\ & \mathbb{P}(A_{1}\vert B) = \frac{\mathbb{P}(A_{1}B)}{\mathbb{P}(B)} = 0.6 \div 0.75 = 0.8 \end{array}$$