Section03_连续型随机变量及其分布

基本概念

1. 定义 若 $$F_{X}(x) = \mathbb{P}\{X\le x\} = \int_{-\infty}^{x} f(t)\cdot dt$$
   • 则称$X$为连续型变量，$f(x)$为$X$的概率密度函数
   • 注1
     1. 连续型随机变量的分布函数$F_{X}(x)$必定连续
     2. 若$X$的分布函数$F(x)$连续且至多有有限个不可导点，则$X$为连续型随机变量
   • 注2 $F'(x) = f(x)$ （其中$x$为$f(x)$的连续点）
2. $f(x)$为密度 $\Leftrightarrow$ $\begin{cases} f(x)\ge 0 \\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot dx =1 \end{cases}$
   • 注 如$f_{1}(x) = \begin{cases} \frac{1}{2},& 0<x<2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ 和 $f_{2}(x) = \begin{cases} \frac{1}{2},& 0\le x\le 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ 两者均为密度，且$\color{#D0104C}f_{1}(x) = f_{2}(x)$，在概率论中对二者不加以区分
3. 如何由$F(x)$求$f(x)$? 尽管求导，如 $$\begin{array}{ll} & F(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ \sin x, & 0\le x< \frac{\pi}{2} \\ 1, & x\ge \frac{\pi}{2} \end{cases} \\ \Rightarrow & X \text{'s Density: } f(x) = \begin{cases} \cos x, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ 0, & \text{others} \end{cases} \\ \end{array}$$
4. 求概率
   1. $\mathbb{P}\{X=x_{0}\} = F(x_{0}) - F(x_{0}-0) = 0$
   2. $\displaystyle \mathbb{P}\{a<x\le b\} = \mathbb{P}\{a <X<b\} = \mathbb{P}\{a\le X\le b\} = F(b)-F(a) = \int_{a}^{b}f(x)\cdot dx$
   3. 注 连续型随机变量计算时仅考虑$f(x)>0$的部分

例题

1. 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6}, & -2 < x < 0 \\ \frac{1}{3}, & 1 < x < 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ 求 $\mathbb{P}\{X^{2}\le 5\}$ $$\begin{array}{ll} \because & f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6}, & -2 < x < 0 \\ \frac{1}{3}, & 1 < x < 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \\ \therefore & \displaystyle \mathbb{P}\{x^{2}\le 5\} = \int_{-2}^{0}f(x)\cdot dx + \int_{1}^{\sqrt{5}}f(x)\cdot dx \\ & = \frac{1}{6}\times 2 + \frac{1}{3}\times (\sqrt{5}-1) = \frac{\sqrt{5}}{3} \end{array}$$
2. 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x) = \begin{cases} k\cos x, & \vert x \vert < \frac{\pi}{2} \\ 0, & \vert x \vert \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$
   1. 求常数 $k$
   2. 求 $X$ 的分布函数 $F(x)$ $$\begin{array}{ll} \because & \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot dx = 1 \\ \because & f(x) = \begin{cases} k\cos x, & \vert x \vert < \frac{\pi}{2} \\ 0, & \vert x \vert \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}\\ \therefore & \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\cdot dx = k\sin x\vert^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} = 2k \\ \therefore & k = \frac{1}{2} \\ \\ & \displaystyle F(x) = \mathbb{P}\{X\le x\} = \int_{-\infty}^{x}f(x)\cdot dx \\ \therefore & F(x) = \begin{cases} 0, & x<-\frac{\pi}{2} \\ \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{2}, & -\frac{\pi}{2}\le x < \frac{\pi}{2} \\ 1, & x\ge \frac{\pi}{2} \end{cases} \\ \end{array}$$

常见连续型随机变量

1. 均匀分布 $X\sim U(a,b)$ $$X\sim f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a < x < b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
   • 若 $(c,d)\subset (a,b)$，则 $\mathbb{P}\{c<X<d\} = \frac{d-c}{b-a}$
   • 例 设$A,B$为任意两个事件，分别判断下列命题的正确性
     1. 若$\mathbb{P}(AB)= 0$，则 $A,B$ 互斥 × 如$X\sim U(-1,1), A =\{-1<X\le 0\}, B =\{0 \le X < 1\}$
     2. 若$\mathbb{P}(AB) = A$，则 $A\subset B$ × 如$X\sim U(-1,1), A =\{-\frac{1}{2}<X\le 0\}, B =\{\frac{1}{2} \le X < 0\}$
   • 注 由概率无法推出事件之间的关系（包含，相容，互斥）
2. 指数分布 $X\sim E(\lambda), \lambda > 0$
   1. $X\sim f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x\le 0 \end{cases}$
   2. $\displaystyle X\sim F(x) = \mathbb{P}\{X\le x\} = \int_{-\infty}^{x} f(t)\cdot dt = \begin{cases} 0, x \le 0 \\ \displaystyle \int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}\cdot dt \\ \end{cases} = 1-e^{-\lambda x}$
   3. 相关问题 寿命 $\mathbb{P}\{X > a\} = \begin{cases} 1- \mathbb{P}\{X\le a\} = 1-F(a) = e^{-\lambda a} \\ \displaystyle \int_{a}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x}\cdot dx = -e^{-\lambda x}\vert_{a}^{+\infty} = e^{-\lambda a} \end{cases}$
   4. 无记忆性 若 $s>0, t>0$ 则 $$\begin{array}{ll} & \displaystyle \mathbb{P}\{X>s+t\vert X>s\} = \frac{\mathbb{P}\{X > s+t, X > s\}}{\mathbb{P}\{X > s\}} \\ & \displaystyle = \frac{\mathbb{P}\{X > s + t\}}{\mathbb{P}\{X>s\}} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = \mathbb{P}\{X> t\} \end{array}$$
3. 正态分布 $X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}), \sigma>0$
   1. $X\sim f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}, \quad x\in \mathbb{R}$
   2. $\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(t - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}} \cdot dt$ 无法积分；但由 $F'(x) = f(x) >0$ 可得，$F(x)$ 单调递增
   3. $Y = \frac{X-\mu}{\sigma}\sim \mathcal{N}(0,1)$
      • $Y$ 的密度 $\varphi(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^{2}}{2}}, \quad y\in \mathbb{R}$
      • $Y$ 的分布函数 $\displaystyle \Phi(y) = \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}\cdot dt$
      • 记
        • $\Phi(0) = 0.5$
        • $\Phi(1) = 0.8413$
        • $\Phi(1.645) = 0.95$
        • $\Phi(1.96) = 0.975$
   4. $\mathbb{P}\{a<X<b\} = \mathbb{P}\{\frac{a-\mu}{\sigma} < Y < \frac{b-\mu}{\sigma}\} = \Phi(\frac{b-\mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})$
   5. $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\cdot dx = 1$ 的妙用，凑!
      • 例 $$\begin{array}{ll} & \displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}\cdot dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}}\cdot dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2\times \frac{1}{2}}} \\ \therefore & \displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times \sqrt{\frac{1}{2}}} e^{-\frac{x^{2}}{2\times \frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ \end{array}$$