Section01_多维随机变量及其分布函数

多维随机变量

1. 定义 $X= X(\omega), Y = Y(\omega)$ 是定义在同一 $\Omega$ 上的随机变量，则称 $(X,Y)$为二维随机变量
   • 注
     1. $X$ 一维随机变量
     2. $(X,Y)$ 二维随机变量
     3. $(X_{1},\cdots, X_{n})$ $n$ 维随机变量
     4. $Z= X+Y$ 为二元函数，但 $Z$ 为一维随机变量

联合分布函数

1. 定义 $\mathbb{P}\{X\le x, Y\le y\}\triangleq F(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合分布函数，其中 $x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}$
   • 注 几何上，$F(x,y)$ 表示随机变量 $(X,Y)$ 落在点 $(x,y)$ 左下方的概率
2. 性质
   1. $0 \le F(x,y)\le 1;\ F(-\infty, y) = F(x, -\infty) = F(-\infty,-\infty)= 0; F(+\infty, +\infty) = 1$
   2. $F(x,y)$ 关于每个变量单调不减，即 $\forall x_{1}< x_{2}, y_{1}<y_{2}$，有 $F(x_{1},y_{1}) \le F(x_{2},y_{1}) \le F(x_{2},y_{2})$
      • 注 若 $A\subset B \Rightarrow P(A)< P(B)$
   3. $F(x,y)$ 关于每个变量均友连续，即 $F(x+0,y) = F(x,y);\ F(x,y+0)=F(x,y)$
   4. $\mathbb{P}\{x_{1}<X<x_{2}, y_{1}<Y<y_{2}\} = F(x_{2},y_{2}) - F(x_{1},y_{2}) - F(x_{2},y_{1}) + F(x_{1},y_{1}) \le 0$

例题

1. 设 $(X,Y)$ 的分布函数为 $F(x,y) = \begin{cases} a(b+\arctan x)(c-e^{-y}), & -\infty < x < +\infty, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，求常数 $a,b,c$ 的值 $$\begin{array}{ll} \because & \begin{cases} \forall\ y, F(-\infty, y) = 0 \\ F(+\infty, +\infty) = 1 \\ F(x,0) = F(x,0+) \end{cases} \\ \therefore & \begin{cases} a(b+\arctan -\infty)(c - e^{-y}) = 0 \\ a(b + \frac{\pi}{2})(c-0) = 1 \\ 0 = \displaystyle \lim_{y\to 0^{+}} a(b+\arctan x)(c- e^{-y}) \end{cases} \\ \therefore & \begin{cases} a = \frac{1}{\pi} \\ b = \frac{\pi}{2} \\ c = 1 \end{cases} \\ \end{array}$$