Section01_事件

随机事件

1. 随机实验 $E$ 的3个特征
2. 样本点 随机实验的基本可能结果 (不可再分)
   • 如骰子的结果样本点有: $1,2,3,4,5,6$
3. 样本空间 $(\Omega)$
   • 例 一对夫妻生二胎性别的样本空间
     • $\Omega_{1} = \{\text{两男}, \text{两女}, \text{一男一女}\}$
     • $\Omega_{2} = \{\text{男男}, \text{女女}, \text{男女}, \text{女男}\}$ （$\Omega_{2}$又称为基本事件空间）
   • 注 样本点 $\leftrightarrow$ 元素， $\Omega \leftrightarrow$ 全集
4. 随机事件 $\Omega$ 的子集，常用 $A,B,C,D,\cdots$ 或 $A_{i}$ 表示
   • 注 事件发生 $\Leftrightarrow$ $A$中某一样本点出现；且$A$发生并不指"$A$已经发生"或"$A$必然发生"而是对未来某一现象的陈述
5. 必然事件 $\Omega$; 不可能事件 $\emptyset$

事件的关系和运算

1. 3种关系，4种运算
   1. $A$ 发生导致 $B$ 必然发生 $\Leftrightarrow$ $A\subset B$
   2. $A\subset B$ 且 $B\subset A$ $\Leftrightarrow$ $A=B$
   3. $A,B$ 中至少有一个发生 $\Leftrightarrow$ $A\cup B\ (\text{or } A+B)$
   4. $A,B$ 都发生 $\Leftrightarrow$ $A\cap B\ (\text{or } AB)$
   5. $A$ 不发生 $\Leftrightarrow$ $\bar{A}$
      • 注 $\bar{A}$ 称谓 $A$ 的对立事件：$A\cup \bar{A} = \Omega;\ A\cap \bar{A} = \emptyset$
   6. $A$ 发生但 $B$ 不发生 $\Leftrightarrow$ $A-B\ (\text{or } A\bar{B} \text{ or } A - AB)$
      • 注1 $A-B = \begin{cases} A(1-B) & \text{Calculus} \\ A(E - B) & \text{Linear Algebra} \\ A(\Omega - B) & \text{Statistics} \end{cases}$
      • 注2 $A - B = A - AB \nRightarrow -B = -AB$
   7. $A,B$ 互斥（也叫 $A,B$ 互不相容）$\Leftrightarrow$ $AB = \emptyset$
      • 注1 $A$ 发生则 $B$ 不发生
      • 注2
        • $AB$ 对立 $\Leftrightarrow$ $AB = \emptyset$ 且 $A\cup B = \Omega$
        • $AB$ 互斥 $\Leftrightarrow$ $AB = \emptyset$
2. 运算律
   1. 吸收率 若 $A\subset B$ 则 $\begin{cases} A\cap B = A \\ A\cup B = B \end{cases}$
   2. 分配律
      • $(A\cup B)\cap C = (A\cap C)\cup (B\cap C)$
      • $(A\cap B)\cup C = (A\cup C)\cap (B\cup C)$
   3. 对偶律
      • $\overline{A\cup B} = \bar{A}\bar{B}$
      • $\overline{AB} = \bar{A}\cup\bar{B}$
      • 注 $\color{#D0104C} \overline{AB} \ne \bar{A}\bar{B}$

例题

1. 设 $A,B$ 为任意两个随机事件，化简 $(\bar{A}\cup B)(A\cup B)(\bar{A}\cup \bar{B})(A\cup \bar{B})$ $$\begin{split} & (\bar{A}\cup B)(A\cup B)(\bar{A}\cup \bar{B})(A\cup \bar{B}) \\ =& [(\bar{A}A)\cup B][(\bar{A}A)\cup \bar{B}] \\ = & (\emptyset \cup B)(\emptyset \cup \bar{B}) \\ = & B\bar{B} = \emptyset \end{split}$$
2. 一个工人生产了 $3$ 个零件，以事件 $A_{i}\quad(i= 1,2,3)$ 表示他生产的第 $i$ 个零件是合格品，试用 $A_{i}$ 表示下列事件
   1. 只有第 $1$ 个零件是合格品 $B_{1}$
   2. $3$ 个零件中只有 $1$ 个合格品 $B_{2}$
   3. $3$ 个零件中有 $1$ 个合格品 $B_{3}$
   4. 第 $1$ 个零件是合格品，但后两个零件中至少有 $1$ 个次品 $B_{4}$
   5. $3$ 个零件中最多有两个合格品 $B_{5}$
   6. $3$ 个零件都是次品 $B_{6}$

$$\begin{array}{ll} & B_{1} = A_{1}\bar{A_{2}}\bar{A_{3}}\\ & B_{2} = A_{1}\bar{A_{2}}\bar{A_{3}} \cup \bar{A_{1}}A_{2}\bar{A_{3}} \cup \bar{A_{1}}\bar{A_{2}}A_{3} \\ & B_{3} = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \\ & B_{4} = A_{1} \overline{A_{2}A_{3}} \\ & B_{5} = \overline{A_{1}A_{2}A_{3}} \\ & B_{6} = \bar{A_{1}}\bar{A_{2}}\bar{A_{3}} \end{array}$$

• 注 $A, \bar{A}$ 互斥 $\Rightarrow$ $AB$ 与 $\bar{A}\bar{B}$ 互斥