Section02_离散型随机变量

基本概念

1. 定义 取值为有限个或可列个的随机变量
2. 分布律 (概率分布)
   1. $\mathbb{P}\{X = x_{i}\} = p_{i},\quad i = 1,2,\cdots$
   2. $X\sim \left( \begin{matrix} x_{1}& x_{2}& \cdots & x_{n} \\ p_{1}& p_{2}& \cdots & p_{n} \end{matrix} \right)$
   3. 列表 $$\begin{array}{|c|cccc|} \hline X & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\\ \hline P & p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n}\\ \hline \end{array}$$
3. 求概率 $$\mathbb{P}\{a\le X\le b\} = \sum_{a\le x_{i}\le b}^{} \mathbb{P}\{X=x_{i}\}$$

例题

1. 设随机变量 $X\sim \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1\\ a & b & \frac{1}{6} \end{matrix} \right)$，且 $\mathbb{P}\{\vert X \vert = 1\} = \mathbb{P}\{X=0\}$，求
   1. 常数 $a,b$ 的值
   2. $X$ 的分布函数 $F(x)$ $$\begin{array}{ll} & \begin{cases} a + b + \frac{1}{6} = 1 \\ a + \frac{1}{6} = b \\ \end{cases} \\ \therefore & \begin{cases} a = \frac{1}{3} \\ b = \frac{1}{2} \end{cases} \\ \\ & F(x) = \begin{cases} 0, & x<-1 \\ \frac{1}{3}, & -1\le x< 0 \\ \frac{5}{6}, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x\ge 1 \end{cases} \end{array}$$

常见离散型分布

1. $0-1$ 分布 $$X\sim \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1-p & p \end{matrix} \right) \text{ or } \mathbb{P}\{X=k\} = (1-p)^{1-k}p^{k}, \quad k=0,1$$
2. 二项分布 $X\sim B(n,p)$ $$\mathbb{P}\{X=k\} = C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k},\quad k = 0,1,2,\cdots,n$$
   • 注1 $n$ 次独立重复的贝努利试验中，事件 $A$ 发生的次数 $X\sim B(n,p), p = \mathbb{P}(A)$
   • 注2 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k} = [p + (1-p)]^{n} = 1$
3. 泊松分布 $X\sim P(\lambda)$ $$\mathbb{P}\{X=k\} = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}\quad(\lambda >0,k = 0,1,2,\cdots)$$
   • 注 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!} \xlongequal{\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = e^{x}} e^{-\lambda}e^{\lambda}=1$
4. 几何分布 $$\mathbb{P}\{X=k\} = (1-p)^{k-1}p\quad (k=1,2,\cdots)$$
   • 注1 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (1-p)^{k-1}p = \frac{p}{1 - (1-p)} = 1$
   • 注2 源于有截止的贝努利试验，如：射击进行到首次命中为止，总共进行的射击次数$X\sim \text{几何分布}$
5. 超几何分布（以古典概型考察）

例题

1. 设随机变量 $X\sim P(\lambda)$ 且 $\mathbb{P}\{X=1\} = \mathbb{P}\{X=2\}$，求 $\mathbb{P}\{0<x^{2}<3\}$ $$\begin{array}{ll} \because & X\sim P(\lambda), \mathbb{P}\{X=1\}=\mathbb{P}\{X=2\} \\ \therefore & \frac{\lambda^{1}}{1!}e^{-\lambda} = \frac{\lambda^{2}}{2!}e^{-\lambda} \\ & \lambda^{2} - 2\lambda = 0 \\ \therefore & \lambda = 2 \\ \therefore & \mathbb{P}\{X=k\} = \frac{2^{k}}{k!}e^{-2} \quad (k=0,1,2,\cdots)\\ \therefore & \mathbb{P}\{0<x^{2}<3\} = \mathbb{P}\{x = 1\} = 2e^{-2} \\ \end{array}$$
2. 设某人独立重复地掷骰子，直到掷出1点为止，$X$表示该人总共掷骰子的次数，求 $\mathbb{P}\{X=10\}$ $$\begin{array}{ll} \mathbb{P}\{X=10\} = (1-\frac{1}{6})^{9} (\frac{1}{6}) = \frac{5^{9}}{6^{10}} \end{array}$$

泊松定理

• Th 若 $X\sim B(n,p)$，$n$很大，$p$很小，$np$适中，则 $$X \overset{\text{approx}}{\sim} P(np)$$