Section03_随机变量的独立性

概念和判定

1. 定义 若 $\forall\ x,y$，有 $F(x,y) = F_{X}(x)F_{Y}(y)$，即 $\mathbb{P}\{X\le x, Y\le y\} = \mathbb{P}\{X\le x\}\mathbb{P}\{Y\le y\}$ 称随机变量 $X,Y$ 独立
   • 注 直观上指 $X,Y$ 的取值互不影响
2. 判定
   1. 离散型 $\forall\ i,j, \mathbb{P}\{X=x_{i},Y=y_{j}\} = \mathbb{P}\{X=x_{i}\}\mathbb{P}\{Y=y_{j}\}$，即 $p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$
   2. 连续型 $X,Y$ 独立 $\Leftrightarrow$ $f(x,y) = f_{X}(x)f_{Y}(y)$ 注 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度 $f(x,y) = \begin{cases} kg(x)h(y), & a\le x\le b, c\le y\le d \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，即 $x,y$ 可分离，且区间为正矩形
3. 结论
   1. 若 $X,Y$ 独立，则 $\mathbb{P}\{a<X<b, c<Y<d\} = \mathbb{P}\{a<X<b\}\mathbb{P}\{c<Y<d\}$
   2. 若 $X,Y$ 独立，且 $g(x),h(y)$ 连续，则 $g(X), h(Y)$ 仍然独立
      • 注 $X,Y$ 独立 $\substack{\rightarrow\\\nleftarrow}$ $X^{2},Y^{2}$ 独立

例题

1. 设随机变量 $X,Y$ 相互独立，且 $X\sim U(0,1);\ Y\sim E(1)$，求 $\mathbb{P}\{X+Y<1\}$ $$\begin{array}{ll} \because & X,Y \text{相互独立}, X\sim U(0,1), Y\sim E(1) \\ \therefore & f_{X}(x) = \begin{cases} 1, & 0<x<1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \\ & f_{Y}(y) = \begin{cases} e^{-y}, & y>0 \\ 0, & y \le 0 \end{cases} \\ \therefore & f(x,y) = \begin{cases} e^{-y}, & 0<x<1, y >0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \\ \because & \displaystyle \mathbb{P}\{X+Y<1\} = \iint\limits_{x+y <1} f(x,y)\cdot d\sigma\\ \therefore & \displaystyle \mathbb{P}\{X+Y<1\} = \int_{0}^{1}dx \int_{0}^{1-x}f(x,y)\cdot dy \\ & \displaystyle = \int_{0}^{1} 1- e^{x-1}\cdot dx = (x - e^{x-1})\vert^{1}_{0} = e^{-1} \end{array}$$