Section01_随机变量及分布函数

随机变量

1. 定义 取值有随机性的变量，数学上指在 $\Omega$ 上的单值实值函数 $X = X(\omega),\quad \omega\in \Omega$
   • 注1 $X$为实数而$\omega$不一定为数值（其为样本空间中的样本点）
   • 注2 例如跑一枚硬币，$\Omega = \{\omega\} = \{\text{正, 反}\}$
     • 令 $X= X(\omega) = \begin{cases} 0, & \omega = \text{正}\\ 1, & \omega = \text{反}\\ \end{cases}$
     • 则事件 $\{X=0\} = \{\text{正}\} = \{X\le 0 \} = \{X\le \frac{1}{2}\}$

随机变量的分布函数

1. 定义 $\mathbb{P}\{X\le x\} \triangleq F(x) \text{ or }F_{X}(x), x\in \mathbb{R}$
   • 例 上例中 $\mathbb{P}\{X=0\} = \mathbb{P}\{X=1\} = \frac{1}{2}$，则 $$F_{X}(x) = \mathbb{P}\{X\le x\} = \begin{cases} 0, & x<0 \\ \frac{1}{2}, & 0\le x< 1 \\ 1, & 1 \le x \end{cases}$$
   • 注1 几何上 $F_{X}(x)$ 或 $F(x)$，表示 $X$ 落在 $(-\infty, x]$ 内的概率
   • 注2 $F(x) = \mathbb{P}\{X\le x\}$，$x$ 不是随机变量的取值，$x\in \mathbb{R}$
   • 注3 $\mathbb{P}\{X\le y\}, y\in \mathbb{R}$ 仍然为 $X$ 的分布函数 $(\mathbb{P}\{X\le y\} = F(y) = F_{X}(y))$
2. $F(x)$ 为某随机变量的分布函数 $\Leftrightarrow$
   1. $F(-\infty) = 0, F(+\infty) = 1, 0\le F(x)\le 1$
   2. 单调不减，即 $\forall x_{1}<x_{2},\ F_{X}(x_{1})\le F_{X}(x_{2})$
   3. 处处右连续，即 $\forall x,\ F(x+0) = F(x)$
3. 用分布函数求概率
   1. $\mathbb{P}\{a<X\le b\} = F(b)- F(a)$
   2. $\mathbb{P}\{X=x_{0}\} = F(x_{0}) - F(x_{0}-0)$

      Proof

      $$\begin{array}{ll} & \text{令}A=\{X\le a\}, B =\{X\le b\}\text{, 则}A\subset B \\ & \mathbb{P}\{a < X\le b\} = \mathbb{P}(B \bar{A}) = \mathbb{P}(B)- \mathbb{P}(AB) \\ & = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A) = F(a) - F(b) \end{array}$$

   3. 例 $F(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ \frac{1}{3},& 0\le x <1 \\ 1,& x\ge 1 \end{cases}$ $$\begin{array}{ll} \mathbb{P}\{X=1\} = F(1) - F(1-0) = \frac{2}{3} \\ \mathbb{P}\{X=0\} = F(0) - F(1-0) = \frac{1}{3} \\ \mathbb{P}\{X = 2\} = F(2) - F(2-0) = 0 \\ \mathbb{P}\{0<X\le 1\} = F(1) - F(0) = \frac{2}{3} \end{array}$$

例题

1. 下列可作为分布函数的选项是(D) a. $F(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ 4e^{4x}, & x\ge 0 \\ \end{cases}$ b. $F(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ \frac{1}{3}, & 0\le x <1 \\ 1, & x \ge 1 \end{cases}$ c. $F(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ \frac{1-x}{2}, & 0\le x<1 \\ 1, & x\ge 1 \end{cases}$ d. $F(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ \sin x, & 0\le x\le \frac{\pi}{2} \\ 1, & x> \frac{\pi}{2} \end{cases}$