Section04_解的结构和通解

$(*),\ (**)$ 解的结构

1. $\boldsymbol{\alpha}_{1},\cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 为 $(*)$ 的解 $\Rightarrow$ $k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1} + \cdots + k_{s}\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 为 $(*)$ 的解
2. $\boldsymbol{\alpha}_{1},\cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 为 $(**)$ 的解
   1. $k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1} + \cdots + k_{s}\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 为 $(*)$ 的解 $\Leftrightarrow$ $k_{1} + \cdots + k_{s} = 0$
   2. $k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1} + \cdots + k_{s}\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 为 $(**)$ 的解 $\Leftrightarrow$ $k_{1} + \cdots + k_{s} = 1$
3. $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 分别为 $(*),\ (**)$ 的解 $\Rightarrow$ $\boldsymbol{\alpha}_{1} + \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为 $(**)$ 的解
4. $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为 $(**)$ 的解 $\Rightarrow$ $\boldsymbol{\alpha}_{1} - \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为 $(*)$ 的解

通解

对 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{0}$

• 定义 $\boldsymbol{A}_{m\times n}, r(\boldsymbol{A}) = r < n$ 对 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{0}$，若 $\begin{cases} \zeta_{1},\cdots,\zeta_{s} \text{为} \boldsymbol{AX} = \boldsymbol{0} \text{的解} \\ \zeta_{1},\cdots,\zeta_{s} \text{线性无关} \\ s = n - r(\boldsymbol{A}) \end{cases}$，则称 $\zeta_{1},\cdots, \zeta_{s}$ 为 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{0}$ 的基础解系，通解为 $x = k_{1}\zeta_{1} + \cdots + k_{s}\zeta_{s}$
• 如 $\boldsymbol{A} = \left( \begin{smallmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & -1 & 4 \\ \end{smallmatrix} \right)$ $$\begin{array}{ll} & \boldsymbol{A} = \left( \begin{smallmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & -1 & 4 \\ \end{smallmatrix} \right) \rightarrow \left( \begin{smallmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ \end{smallmatrix} \right) \rightarrow \left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{smallmatrix} \right) \\ \therefore & \text{通解} = k_{1} \left( \begin{smallmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{smallmatrix} \right) + k_{2} \left( \begin{smallmatrix} -4 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{smallmatrix} \right)\\ \end{array}$$
  • NOTICE 通过初等行变化，将矩阵进行化简为阶梯矩阵，要求：
    • 归一性 每行第一个非零元素为1
    • 排他性 每行第一个非零元素为所在列仅有此元素非零

对 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{\beta}$

• 通解 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{0}$ 的通解 $+$ $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{\beta}$ 的一个特解
• 过程
  1. 将 $\bar{\boldsymbol{A}}$ 通过初等行变化，将矩阵进行化简为阶梯矩阵: $\bar{\boldsymbol{A}} \rightarrow \left( \begin{matrix} 1 & \cdots \\ & 1 & \cdots \\ & & && 1 \cdots \\ & & \huge 0 \end{matrix} \right)$
  2. 两种结果
     1. 若 $\bar{\boldsymbol{A}}\rightarrow \left( \begin{matrix} 1 & \cdots \\ & 1 & \cdots \\ & & && 1 & \cdots \\ & & && &\times \\ & & \huge 0 \end{matrix} \right)$，即 $r(\bar{\boldsymbol{A}}) > r(\boldsymbol{A})$
     2. 若 $\bar{\boldsymbol{A}}\rightarrow \left( \begin{matrix} 1 & \cdots \\ & 1 & \cdots \\ & & && 1 & \cdots \\ & & \huge 0 \end{matrix} \right)$，即 $r(\bar{\boldsymbol{A}}) = r(\boldsymbol{A})$
        1. $r(\boldsymbol{A})= r(\bar{\boldsymbol{A}}) = n$ $$\begin{array}{c} \bar{\boldsymbol{A}} \rightarrow \left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & ? \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & ? \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & ? \\ & & \huge 0 \\ \end{smallmatrix} \right) \\ \left( \begin{smallmatrix} ? \\ ? \\ \vdots \\ ? \end{smallmatrix} \right)\text{为}\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{\beta}\text{的解} \end{array}$$
        2. $r(\boldsymbol{A})= r(\bar{\boldsymbol{A}}) < n$ $$\begin{array}{c} \bar{\boldsymbol{A}} \rightarrow \left( \begin{smallmatrix} 1 & & \cdots & & & c_{1} \\ & 1 & \cdots & & & c_{2} \\ \cdots \\ & & & 1 & \cdots & c_{r} \\ & & \huge 0 \\ \end{smallmatrix} \right) = \left( \begin{array}{c:c} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \end{array} \right)\\ \text{通解为} \boldsymbol{AX} = \boldsymbol{0} \text{的通解} + \boldsymbol{C} \end{array}$$
• 如 $\bar{\boldsymbol{A}} = \left( \begin{smallmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 4 & 2 \\ & & \huge0 & & \\ \end{smallmatrix} \right)$ $$\begin{array}{ll} & \bar{\boldsymbol{A}} = \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 4 & 2 \\ & & \huge0 & & \\ \end{matrix} \right) \rightarrow \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 4 & 2 \\ & & \huge0 & & \\ \end{matrix} \right) \\ \therefore & \text{通解} = k_{1} \left( \begin{matrix} -2\\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) + k_{2}\left( \begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\\ \end{array}$$