Section01_定义

概念

1. 逆序 $i,j\in \mathbb{N}$，且$i\ne j$，则
   1. 若 $i<j$，称 $(i,j)$ 为顺序
   2. 若 $i>j$，称 $(i,j)$ 为逆序
2. 逆序数 设 $i_{1},i_{2},\cdots,i_{n}$ 为 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列，$i_{1},i_{2},\cdots, i_{n}$ 中含逆序的个数之和，称为逆序数，记为 $\tau(i_{1},i_{2},\cdots,i_{n})$
   • 如 $\tau(3,5,6,4,1,2) = 2 + 3 + 3 + 2 + 0 = 10$
3. 行列式 $D = \left\vert \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right\vert$ 称为 $n$ 阶行列式
   • 如 $$\left\vert \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right\vert = \begin{split} & a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} \\ & -a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} \\ & a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} \end{split}$$
   • 即 $\displaystyle \det(A) = \sum_{\sigma\in S_{n}}^{}\bigg(\text{sgn }(\sigma) \prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma_{i}}\bigg)$
     • $S_{n}$ 为 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的所有排列组成的集合
     • $\text{sgn }(\sigma) = (-1)^{\tau(\sigma)}$
     • $\sigma_{i}$ 为排列 $\sigma$ 的第 $i$ 个元素
4. 余子式与代数余子式 对于行列式 $D = \left\vert \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right\vert$，取 $a_{ij}$，并在 $D$ 中去掉第 $i$ 行 $j$ 列而成的 $n-1$ 阶行列式，记为 $M_{ij}$，称 $M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的余子式，而 $A_{ij}\triangleq (-1)^{i+j}M_{ij}$，称 $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式
   • 注 余子式和代数余子式依然为一个数或式子

例题

1. $f(x) = \left\vert \begin{matrix} 2x-1 & 1 & -2 \\ 2 & x+2 & 2x+3 \\ -4 & x+1 & 2x+1 \end{matrix} \right\vert$，则 $x^{2}$ 的系数为         $$\begin{array}{ll} & f(x) = \left\vert \begin{matrix} 2x -1 & 1 & -2\\ 2 & x+2 & 2x+3\\ -4 & x+1 & 2x+1 \end{matrix} \right\vert \\ & = (2x-1) \left\vert \begin{matrix} x + 2 & 2x+3 \\ x+1 & 2x+1 \end{matrix} \right\vert - 1 \left\vert \begin{matrix} 2 & 2x+3 \\ -4 & 2x+1 \end{matrix} \right\vert - 2 \left\vert \begin{matrix} 2 & x+2 \\ -4 & x+1 \end{matrix} \right\vert \\ \because & \text{后两项不包含}x^{2} \\ \because & (2x-1) \left\vert \begin{matrix} x+2 & 2x+3 \\ x+1 & 2x+1 \end{matrix} \right\vert \\ & = (2x-1)(x+2)(2x+1) - (2x-1)(x+1)(2x+3) \\ \therefore & x^{2} \text{的系数为}0 \\ \end{array}$$