Chapter04_目标规划

1. 试述目标规划构建模型的思路以及它的数学模型同一般线性规划数学模型的相同点和不同点
   1. 思路
      1. 分清绝对约束与目标约束
      2. 分清不同目标约束的优先性，以及相同优先级目标约束的权系数
      3. 根据不同目标约束的要求，确定由优先因子，权系数及正负偏差变量组成的目标函数
   2. 相同点 模型形式基本相同
   3. 不同点 一般线性规划只能解决单个目标的问题，且其目标函数过于刚性化，不允许约束资源有丝毫超差；而目标规划可以解决多目标问题，切约束相对没有那么刚性化，允许在满足较高优先级约束前提下，较低优先级约束不得到满足的情况出现。
2. 通过实例解释下列概念
   1. 正负偏差变量
      1. 定义 正偏差变量 $d^+$ 指的是决策值超过目标值的部分；负偏差变量 $d^-$ 指的是决策值未达到目标值的部分。因此，决策值不可能同时超过又未达到目标值，故 $d^+\cdot d^-\equiv 0$
      2. 例子 设产品$1$的产量为 $x_1$，产品$2$的c含量为 $x_2$，相关表格如下所示$$\begin{array}{c|c|c|c}\hline & 1&2&\text{拥有量}\\\hline \text{原材料/kg}& 2 & 1 & 11 \\\hline \text{设备生产能力/小时}& 1 & 2 & 10 \\\hline \text{利润/(元/件)} & 8 & 10\\ \hline \end{array}$$
         1. 对于目标$1$：产品$1$的产量不大于产品$2$的含量；据此可建立约束$$x_{1}-x_{2}+d_{1}^--d_{1}^+=0$$此时，对于目标一而言，要求 $\min\{d_{1}^-\}$
         2. 对于目标$2$：应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班；据此可建立约束$$x_1 + 2x_2 +d^-_2 - d^+_2 = 10$$此时，对目标$2$而言，要求$\min\{d_{2}^-+d_2^+\}$
   2. 绝对约束与目标约束
      1. 定义 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束：例如，线性规划问题中所有的约束条件，不能满足这些约束的解称为不可行解，因此为硬约束；目标约束为目标规划所特有的，将约束右端看作追求的目标值。在达到此目标值时，允许发生一定的正偏差或负偏差。
   3. 优先因子与权系数
      1. 定义 不同目标有主次或轻重缓急的差别，这种差别有两种：一种差别是绝对的，可用优先因子 $P_{i}$ 来表示，且规定：$P_{k} \gg P_{k+1}\quad k=1,\cdots,K$；表示 $P_k$ 比 $P_{k+1}$ 有更大的优先权。另一种差别是相对的，这些目标拥有相同的优先因子，其重要程度可用权系数的b不同表示。
3. 为什么求解目标规划时要提出满意解的概念，它同最优解有什么区别？
   1. 满意解 当存在多个目标时，有时无法满足所有的目标，这时，就需要寻找那些满足高优先级目标，且与低优先级目标偏差较小的解，这种解被称为满意解。
   2. 区别 最优解往往出现在一般线性规划问题中，其只有一个目标，切约束都是刚性的必须得到满足；而满意解出现在目标规划问题中，其往往存在多重目标，切存在相对柔性的目标约束，因此，往往无法得到一个满足所有目标的解，这时，需要引入满意解来得到一个相对近似最优的解。
4. 试述求解目标规划的单纯形法与求解线性规划的单纯形法的相同点及不同点？
   1. 相同点：都需要列出单纯性表；相同的进基判断标准；
   2. 不同点：标准型的目标函数不同，一般线性规划问题的目标为求最大值，而目标规划的目标是求最小值；因此，而这判断最优的标准不同：一般线性规划要求除基变量外其余变量的检验数不大于$0$时，为最优解，而目标线性规划要求除基变量外其余变量的检验数不小于$0$，才为最优解。